原题目为高中数学压轴题，经过GPT5.5改编如下，不知道效果如何 
题目：
AI 大模型高阶数学推理测试题
总说明：
本题由五个相互独立但结构相关的模块组成。
答题者需要给出完整推理过程。
仅给出结论不得满分。
本题重点考察：
1. 模运算与有限群上的分布；
2. 随机游走的首达时间与生成函数；
3. 数表操作的线性代数不变量；
4. 空间向量中的存在性条件与极值；
5. 对错误证明的识别、修正与反例构造。
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第一部分：动态验证码、模运算与分布反演
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设 a1,a2,a3 独立且均匀地取自集合 {0,1,2,...,9}。
对 m∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，定义动态验证码 xm 为：
xm ≡ a1 m^3 + a2 m^2 + a3 m (mod 10)。
记：
Qk = P(xm=k)，
其中 m 不是均匀随机，而是按照未知分布：
P(m=i)=pi，i=1,2,...,10，
满足：
pi>0，且 p1+p2+...+p10=1。
（1）对每个 m=1,2,...,10，求 xm 在 {0,1,...,9} 上的分布类型。
要求给出判断依据，而不是逐项枚举。
（2）给出 Q0,Q1,...,Q9 关于 p1,p2,...,p10 的显式表达式。
（3）证明：无论 pi 如何取值，只要 p2+p4+p5+p6+p8+p10>0，就有
Q0 > Q1
是否一定成立？若成立，给出证明；若不成立，给出反例。
（4）设观察到验证码分布满足：
Q0=Q5=1/4，
Q2=Q4=Q6=Q8=1/8，
Q1=Q3=Q7=Q9=0。
问是否能够唯一确定 m 的分布 p1,...,p10？
若能，求出所有 pi；若不能，描述所有可能的 pi 组成的集合。
（5）进一步设攻击者可以自由选择三位静态密码 a1a2a3，
但不知道 m 的分布。
攻击者希望使 xm=0 的概率尽可能大。
在 pi>0 且 p1+...+p10=1 的条件下，求：
max over (a1,a2,a3) inf over (p1,...,p10) P(xm=0)。
并给出达到该值的所有静态密码结构。
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第二部分：随机游走、首达时间与繁殖次数分布
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考虑如下 3×3 方格：
A B A
B C B
A B A
微生物初始位于中心 C。
每一步从当前格子等概率移动到相邻格子。
每当到达 A 格时发生一次繁殖。
记第 n 次繁殖发生时已经走过的总步数为 Xn。
（6）求 X1 的概率生成函数：
G1(z)=E[z^X1]。
并由此求 E(X1) 与 Var(X1)。
（7）求 Xn 的概率生成函数 Gn(z)=E[z^Xn]。
要求写成闭式表达式。
（8）求 Xn 的精确分布，即给出：
P(Xn=t)
关于 n,t 的公式。
注意：需要明确指出哪些 t 的概率为 0。
（9）设 Y(t) 表示前 t 步内发生的繁殖次数。
求 E[Y(t)] 的精确表达式或一个带有明确误差项的渐近表达式。
（10）若每次繁殖后，微生物有概率 r 被重置回 C，有概率 1-r 留在当前 A 格继续随机游走。
其中 0≤r≤1。
求第 n 次繁殖时间的期望 E_r(Xn)。
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第三部分：数表变换、线性代数与可达性
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设 n≥2。
在 n×n 数表中填整数。
一次操作 T(i,j,ε) 定义为：
选择第 i 行和第 j 列，并将这一行与这一列的所有格子同时加 ε，
其中 ε∈{+1,-1}，
行列交叉处只加一次。
设初始矩阵为 M=(mij)，目标矩阵为 N=(nij)。
（11）用线性代数语言刻画所有从 M 可达的矩阵 N。
要求给出充要条件。
（12）证明：若 n=11，且初始矩阵为：
左上角 10×10 区域全为 13；
最后一列前 10 个数全为 -130；
最后一行前 10 个数全为 -130；
右下角为 1300；
目标矩阵全为 1，
则目标不可达。
要求不能只用“总和模 21”这一条不变量，而要给出更强的不变量体系。
（13）对于一般 n，求从零矩阵到全 1 矩阵可达的充要条件。
（14）如果操作改为：
每次选择一行和一列，使这一行加 1，这一列减 1，交叉格不变。
问从零矩阵到给定整数矩阵 A 的可达充要条件是什么？
（15）考虑随机操作：
每一步等概率选择 i,j，并以概率 1/2 加 1，以概率 1/2 减 1。
在模 q 的意义下研究状态空间。
求该随机过程在模 q 状态空间上的不可约分解。
特别讨论 q 为奇数与 q 为偶数时的差异。
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第四部分：空间向量、凸几何与极值
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在三维空间直角坐标系中，设：
i=(1,0,0)，j=(0,1,0)。
定义点集：
Aθ = {P | OP·j=1，且 OP 与 j 的夹角为 θ}，
其中 0<θ<π/2。
点集 Bθ 满足：
Q∈Bθ 当且仅当存在 P∈Aθ，使得 OP·OQ=2。
设 T∈Bθ，且：
OT = x i + y j，
并满足：
|OT - j| = R，
其中 R>0。
（16）用 x,y,θ,R 刻画所有可能的 T。
要求给出一个等价的不等式系统。
（17）求 OT·i=x 的取值范围，答案需按 θ 与 R 的不同关系进行分类。
（18）令 θ=π/4，R=2。
验证第（17）问所得结果与原题结果一致。
（19）设 R 固定，求使 x 的可取区间总长度最大的 θ。
若最大值不存在，求上确界并说明原因。
（20）将条件“存在 P∈Aθ”改为“对所有 P∈Aθ 都有 OP·OQ=2”。
重新求 T 的可能集合，并判断此时是否还存在满足 |OT-j|=R 的非空解。
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第五部分：错误证明识别、修复与反例构造
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某 AI 对第（13）问给出如下证明：
“每次操作会改变 2n-1 个格子，因此全表总和每次改变 ±(2n-1)。从零矩阵到全 1 矩阵需要总和从 0 变为 n^2，所以只要 n^2 是 2n-1 的倍数，就可达。解得 n=1，所以 n≥2 时都不可达。”
（21）判断该证明是否正确。
若错误，请指出错误发生在哪里。
（22）给出第（13）问的正确结论。
（23）构造一个 n≥2 的例子，说明“总和模 2n-1 不变量”不是完整不变量。
（24）设计一个新的操作规则，使得“总和模某个数”成为完整不变量。
要求说明为什么完整。
（25）从第（1）到第（24）中选择你认为最能区分强弱 AI 模型的三个小问，
并说明理由。
答案
AI 大模型高阶数学推理测试题 —— 修正版完整标准答案
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第一部分：动态验证码、模运算与分布反演
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（1）
对固定 m，有：
xm ≡ a1m^3+a2m^2+a3m (mod 10)
≡ m(a1m^2+a2m+a3) (mod 10)。
由于 a1,a2,a3 在 Z/10Z 上独立均匀，
xm 的分布由 gcd(m,10) 决定。
若 gcd(m,10)=1，则 xm 在 {0,1,2,...,9} 上均匀分布。
对应：
m=1,3,7,9。
若 gcd(m,10)=2，则 xm 在 {0,2,4,6,8} 上均匀分布。
对应：
m=2,4,6,8。
若 gcd(m,10)=5，则 xm 在 {0,5} 上均匀分布。
对应：
m=5。
若 gcd(m,10)=10，则 xm 恒等于 0。
对应：
m=10。
（2）
记：
A=p1+p3+p7+p9，
E=p2+p4+p6+p8，
F=p5，
Z=p10。
则：
Qk = A/10 + 1_{k为偶数} E/5 + 1_{k=0或5} F/2 + 1_{k=0} Z。
具体为：
Q0=A/10+E/5+F/2+Z。
Q1=A/10。
Q2=A/10+E/5。
Q3=A/10。
Q4=A/10+E/5。
Q5=A/10+F/2。
Q6=A/10+E/5。
Q7=A/10。
Q8=A/10+E/5。
Q9=A/10。
（3）
由第（2）问：
Q0-Q1 = E/5+F/2+Z
= (p2+p4+p6+p8)/5 + p5/2 + p10。
若：
p2+p4+p5+p6+p8+p10>0，
则右边严格大于 0。
因此命题成立：
Q0>Q1。
（4）
由：
Q1=Q3=Q7=Q9=0，
而：
Q1=Q3=Q7=Q9=A/10，
得：
A=0。
所以：
p1=p3=p7=p9=0。
这已经与 pi>0 矛盾。
即使放宽为 pi≥0，也会矛盾。
因为：
Q2=E/5=1/8，
所以：
E=5/8。
又：
Q5=F/2=1/4，
所以：
F=1/2。
于是：
Q0=E/5+F/2+Z
=1/8+1/4+Z
=3/8+Z。
这不可能等于 1/4。
因此该观察分布不可能由任何合法的 p_i 产生。
结论：
不能唯一确定 p_i，因为根本不存在满足条件的 p_i。
（5）
严格地，由于 pi>0，应求：
max over password inf over p_i>0 P(xm=0)。
若某密码不能保证所有 m=1,...,10 下 xm 都为 0，
则对手可以把不利的 m 的概率取到任意接近 1，
从而使 P(xm=0) 的下确界为 0。
因此要使下确界为 1，必须满足：
a1m^3+a2m^2+a3m ≡ 0 (mod 10)
对所有 m=1,2,...,10 成立。
模 5 考察。
对 m=1,2,3,4，可除去 m，得：
a1m^2+a2m+a3≡0 (mod 5)。
这是一个二次多项式在 F5 中有 4 个根，
因此必须是零多项式。
所以：
a1≡a2≡a3≡0 (mod 5)。
因此每个 ai 只能是 0 或 5。
再模 2 考察。
由于 5≡1 (mod 2)，所以要求：
a1+a2+a3≡0 (mod 2)。
也就是说，三个位置中取 5 的个数必须为偶数。
因此所有最优密码为：
000，055，505，550。
结论：
max inf P(xm=0)=1，
达到者为：
000，055，505，550。
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第二部分：随机游走、首达时间与繁殖次数分布
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（6）
从 C 出发，第一步必到 B。
从 B 出发：
到 A 的概率为 2/3；
回 C 的概率为 1/3。
因此第一次繁殖时间 X1 只可能取偶数：
P(X1=2k)=(1/3)^(k-1)(2/3)，k=1,2,...
所以概率生成函数为：
G1(z)=Σ_{k≥1} (1/3)^(k-1)(2/3) z^(2k)
= (2z^2)/(3-z^2)。
因此：
G1(z)=2z^2/(3-z^2)。
令 X1=2K，其中 K~Geom(2/3)。
所以：
E(K)=3/2，
Var(K)=3/4。
于是：
E(X1)=3，
Var(X1)=3。
（7）
每两次繁殖之间的时间间隔与 X1 同分布，
并且由强马尔可夫性可视为独立同分布。
因此：
Xn = Y1+Y2+...+Yn，
其中 Yi 独立同分布，且 Yi~X1。
所以：
Gn(z)=G1(z)^n
= [2z^2/(3-z^2)]^n。
（8）
设：
Xn=2Sn。
其中 Sn 是 n 个参数为 2/3 的几何分布之和，
所以 Sn 服从负二项分布。
若 t 为奇数，或 t<2n，则：
P(Xn=t)=0。
若 t=2s，且 s≥n，则：
P(Xn=2s)=C(s-1,n-1)(2/3)^n(1/3)^(s-n)。
其中 C(s-1,n-1) 表示组合数。
（9）
设 Y(t) 表示前 t 步内发生的繁殖次数。
每两个步长构成一次独立尝试：
第一步到 B；
第二步从 B 到 A 的概率为 2/3。
前 t 步中完整两步周期数为：
floor(t/2)。
因此：
Y(t)~Binomial(floor(t/2),2/3)。
所以：
E[Y(t)] = (2/3)floor(t/2)。
渐近地：
E[Y(t)] = t/3+O(1)。
（10）
每次繁殖后：
以概率 r 重置回 C；
以概率 1-r 留在当前 A。
从 C 到下一次 A 的期望时间为 3。
从 A 到下一次 A 的期望时间也为 3。
所以重置不影响期望间隔。
因此：
E_r(Xn)=3n。
该式对所有 0≤r≤1 成立。
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第三部分：数表变换、线性代数与可达性
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（11）
设：
D=N-M。
令：
S = D 的全体元素总和；
R_a = D 的第 a 行元素和；
C_b = D 的第 b 列元素和。
一次操作 T(i,j,ε) 对应矩阵 L_ij 的 ±1 倍。
所有可达差矩阵构成整数格：
Λ=span_Z{L_ij}。
D 可达当且仅当：
S≡0 (mod 2n-1)，
并且令：
K=S/(2n-1)，
有：
R_a≡K (mod n-1)，对所有 a=1,...,n 成立；
C_b≡K (mod n-1)，对所有 b=1,...,n 成立。
即：
D 可达 ⇔
{
S≡0 (mod 2n-1),
R_a≡S/(2n-1) (mod n-1), for all a,
C_b≡S/(2n-1) (mod n-1), for all b.
}
必要性来自单次操作对总和、行和、列和的改变规律。
充分性可由 Smith 标准形或格指数证明：
操作矩阵生成格 Λ 在 Z^(n^2) 中的指数为：
(2n-1)(n-1)^(2n-2)。
上述同余条件定义的格点集合也具有同样指数。
因为 Λ 包含于该集合且指数相同，
故二者相等。
因此上述条件为充要条件。
（12）
本题 n=11。
完整不变量体系为：
S≡0 (mod 21)。
若：
K=S/21，
则所有行和、列和还必须满足：
R_a≡K (mod 10)，对所有行 a 成立；
C_b≡K (mod 10)，对所有列 b 成立。
初始矩阵总和为：
100·13+20·(-130)+1300=0。
目标全 1 矩阵总和为：
121。
因此差矩阵总和：
S=121。
但是：
121≡16 (mod 21)。
所以完整不变量体系的第一条已经失败。
因此目标不可达。
结论：
不能变成全 1 数表。
注意：
不能只说“总和模 21 不变”，
还应明确完整不变量体系包括：
总和模 21；
所有行和模 10；
所有列和模 10。
（13）
从零矩阵到全 1 矩阵时：
D=J。
此时：
S=n^2。
必要条件：
2n-1 | n^2。
但：
gcd(n,2n-1)=1。
所以若 2n-1 | n^2，则必须：
2n-1 | 1。
因此：
2n-1=1，
即：
n=1。
所以：
从零矩阵到全 1 矩阵可达当且仅当 n=1。
对题设 n≥2，均不可达。
（14）
新操作为：
选择一行加 1，选择一列减 1，交叉格不变。
一次操作对应：
G_ij = R_i - C_j。
所有可达矩阵 A 必须形如：
A_ab = u_a - v_b。
并且由于每次操作总和不变，所以：
sum_{a,b} A_ab = 0。
等价地，A 可达当且仅当：
1. 全体元素总和为 0；
2. 对任意 a,c,b,d，有：
A_ab + A_cd = A_ad + A_cb。
第二条表示所有 2×2 混合差为 0，
等价于 A_ab=u_a-v_b 的可分离形式。
因此充要条件为：
sum A_ab=0，
且
A_ab + A_cd = A_ad + A_cb
对所有合法指标成立。
（15）
模 q 状态空间为：
G=(Z/qZ)^(n^2)。
设 H_q 为模 q 意义下由所有操作矩阵生成的子群。
随机过程的不可约类就是 G/H_q 的各个陪集。
整数商群的 Smith 标准形为：
Z^(n^2)/Λ ≅ (Z_(n-1))^(2n-3) ⊕ Z_((n-1)(2n-1))。
因此：
G/H_q ≅ (Z_gcd(q,n-1))^(2n-3)
⊕ Z_gcd(q,(n-1)(2n-1))。
又因为：
gcd(n-1,2n-1)=1，
所以也可写成：
G/H_q ≅ (Z_gcd(q,n-1))^(2n-2)
⊕ Z_gcd(q,2n-1)。
不可约类数量为：
gcd(q,n-1)^(2n-2) · gcd(q,2n-1)。
若 q 为奇数，分解由 q 与 n-1、2n-1 的公共因子决定。
若 q 为偶数，由于 2n-1 恒为奇数，偶因子只可能来自 gcd(q,n-1)。
当 n 为奇数时，n-1 为偶数，模 2 层面可能出现额外不变量。
当 n 为偶数时，n-1 为奇数，模 2 层面不产生这类行列奇偶不变量。
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第四部分：空间向量、凸几何与极值
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（16）
设：
rho=tanθ。
点 P∈Aθ 时，设 OP=(a,b,c)。
由：
OP·j=1
得：
b=1。
又：
angle(OP,j)=θ，
所以：
1/|OP|=cosθ，
即：
|OP|=secθ。
因此：
a^2+c^2=tan^2θ=rho^2。
所以：
Aθ={(a,1,c):a^2+c^2=rho^2}。
设：
OT=(x,y,0)。
存在 P∈Aθ 使 OP·OT=2，
等价于存在 a∈[-rho,rho] 使：
ax+y=2。
这等价于：
|2-y|≤rho|x|。
又：
|OT-j|=R
等价于：
x^2+(y-1)^2=R^2。
因此所有可能 T 的等价刻画为：
x^2+(y-1)^2=R^2，
|2-y|≤tanθ |x|。
（17）
令：
rho=tanθ，
A=1+rho^2，
s=y-1。
则圆方程为：
x^2+s^2=R^2。
约束为：
|1-s|≤rho|x|。
平方得：
(1-s)^2≤rho^2(R^2-s^2)。
整理为：
(1+rho^2)s^2-2s+1-rho^2R^2≤0。
该不等式有解当且仅当：
R≥1/sqrt(1+rho^2)=cosθ。
所以：
若 R<cosθ，则无解。
若 R≥cosθ，令：
h=sqrt((1+rho^2)R^2-1)。
则 x 的取值集合关于 0 对称。
定义：
u_min = |h-rho|/(1+rho^2)。
定义：
u_max =
R，若 rho R≥1；
(rho+h)/(1+rho^2)，若 rho R<1。
于是：
若 u_min>0，则：
x∈[-u_max,-u_min] ∪ [u_min,u_max]。
若 u_min=0，则：
x∈[-u_max,u_max]。
这就是 OT·i=x 的完整取值范围。
（18）
当：
θ=π/4，R=2，
有：
rho=1，
1+rho^2=2，
h=sqrt(2·4-1)=sqrt7。
又：
rho R=2≥1，
所以：
u_max=2，
u_min=(sqrt7-1)/2。
因此：
x∈[-2,-(sqrt7-1)/2] ∪ [(sqrt7-1)/2,2]。
即：
x∈[-2,(1-sqrt7)/2] ∪ [(sqrt7-1)/2,2]。
这与原题结果一致。
（19）
固定 R>0。
由于：
x^2+(y-1)^2=R^2，
所以：
|x|≤R。
因此 x 的可取区间总长度不超过：
2R。
当 θ→π/2 时：
tanθ→∞，
约束：
|2-y|≤tanθ|x|
趋于几乎不限制圆上的点。
因此可取区间长度的上确界为：
2R。
若 R=1，则当 θ≥π/4 时，
x 的可取范围可以达到完整区间：
[-1,1]，
长度为 2。
若 R≠1，则最大长度 2R 一般不能在 0<θ<π/2 内真正达到，
只能在 θ→π/2 时逼近。
结论：
sup length=2R。
R=1 时最大值可达；
R≠1 时一般只有上确界，不在开区间内达到。
（20）
若要求：
对所有 P∈Aθ 都有 OP·OQ=2，
设：
OQ=(X,Y,Z)。
又：
OP=(a,1,c)，a^2+c^2=rho^2。
则：
aX+Y+cZ=2
对圆上所有 (a,c) 成立。
这只有在：
X=0，
Z=0，
Y=2
时成立。
因此：
Q=(0,2,0)。
若 T=(x,y,0)，则唯一可能：
T=(0,2,0)。
此时：
|OT-j|=|(0,2,0)-(0,1,0)|=1。
所以：
若 R=1，唯一解为 T=(0,2,0)；
若 R≠1，无解。
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第五部分：错误证明识别、修复与反例构造
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（21）
该证明不正确。
错误在于：
它把“总和模 2n-1 是不变量”这个必要条件，
误当成了充要条件。
总和模 2n-1 只是可达性的一个必要条件，
并不能保证可达。
还存在行和、列和模 n-1 的不变量。
（22）
第（13）问的正确结论是：
从零矩阵到全 1 矩阵可达当且仅当 n=1。
对所有 n≥2，均不可达。
（23）
取 n=3。
此时：
2n-1=5。
考虑目标矩阵：
A =
[1 1 1
1 1 0
0 0 0]
该矩阵总和为 5，
满足：
5≡0 (mod 5)。
所以它满足总和模 5 的必要条件。
但是完整不变量要求：
K=S/(2n-1)=5/5=1。
每一行行和都应满足：
R_a≡1 (mod n-1)=1 (mod 2)。
该矩阵第二行和为：
2≡0 (mod 2)，
不满足要求。
所以该矩阵不可达。
这说明：
总和模 2n-1 不变量不是完整不变量。
（24）
设计新操作规则：
固定正整数 q。
允许以下两类操作：
操作 A：
选择两个格子，一个加 1，另一个减 1。
操作 B：
选择任意一个格子，加 q 或减 q。
操作 A 保持全表总和不变。
操作 B 使全表总和改变 q 的整数倍。
同时，操作 A 可以在总和固定的情况下把数值在不同格子间转移；
操作 B 可以调节总和模 q 不变的所有总和层级。
因此从 M 到 N 可达当且仅当：
sum(N)-sum(M)≡0 (mod q)。
所以：
全表总和模 q 是完整不变量。
（25）
最能区分强弱 AI 模型的三个小问是：
（11），（15），（17）。
理由：
第（11）问要求给出完整可达性刻画。
弱模型通常只能发现总和不变量；
强模型需要发现总和、行和、列和的完整同余体系，并证明充要性。
第（15）问要求在模 q 状态空间中进行不可约分解。
这需要有限阿贝尔群、生成子群、Smith 标准形和随机过程状态空间的综合理解。
第（17）问要求完成参数化空间几何极值。
这需要将三维向量条件降维为平面圆与不等式，再按 θ、R 分类讨论。
因此这三问最能区分强弱模型。
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{
"id": "2.1",
"type": "notation",
"score": 1,
"description": "Defines A=p1+p3+p7+p9, E=p2+p4+p6+p8, F=p5, Z=p10 or equivalent grouping."
},
{
"id": "2.2",
"type": "formula",
"score": 3,
"description": "Correctly gives Q_k = A/10 + indicator_even(k)E/5 + indicator_{k in {0,5}}F/2 + indicator_{k=0}Z."
}
]
},
{
"question_id": "3",
"max_score": 3,
"criteria": [
{
"id": "3.1",
"type": "calculation",
"score": 2,
"description": "Correctly computes Q0-Q1=(p2+p4+p6+p8)/5+p5/2+p10."
},
{
"id": "3.2",
"type": "conclusion",
"score": 1,
"description": "Correctly concludes Q0>Q1 under the stated positive mass condition."
}
]
},
{
"question_id": "4",
"max_score": 4,
"criteria": [
{
"id": "4.1",
"type": "inference",
"score": 2,
"description": "Uses Q1=Q3=Q7=Q9=0 to derive A=0."
},
{
"id": "4.2",
"type": "contradiction",
"score": 2,
"description": "Correctly proves that the observed distribution is impossible, even allowing nonnegative p_i."
}
]
},
{
"question_id": "5",
"max_score": 5,
"criteria": [
{
"id": "5.1",
"type": "rigor",
"score": 1,
"description": "Uses infimum rather than minimum because all p_i are strictly positive."
},
{
"id": "5.2",
"type": "number_theory",
"score": 2,
"description": "Correctly reduces the all-m condition modulo 5 and derives a1,a2,a3 are all 0 modulo 5."
},
{
"id": "5.3",
"type": "number_theory",
"score": 1,
"description": "Correctly applies the modulo 2 parity condition."
},
{
"id": "5.4",
"type": "result",
"score": 1,
"description": "Correctly identifies all optimal passwords: 000, 055, 505, 550."
}
]
}
]
},
{
"section_id": 2,
"section_name": "Random_Walk_Generating_Functions",
"max_score": 20,
"questions": [
{
"question_id": "6",
"max_score": 5,
"criteria": [
{
"id": "6.1",
"type": "model",
"score": 2,
"description": "Identifies X1=2K where K is geometric with parameter 2/3."
},
{
"id": "6.2",
"type": "formula",
"score": 2,
"description": "Correctly derives G1(z)=2z^2/(3-z^2)."
},
{
"id": "6.3",
"type": "result",
"score": 1,
"description": "Correctly gives E(X1)=3 and Var(X1)=3."
}
]
},
{
"question_id": "7",
"max_score": 4,
"criteria": [
{
"id": "7.1",
"type": "markov_property",
"score": 2,
"description": "Recognizes independent identical inter-birth intervals."
},
{
"id": "7.2",
"type": "formula",
"score": 2,
"description": "Correctly gives Gn(z)=[2z^2/(3-z^2)]^n."
}
]
},
{
"question_id": "8",
"max_score": 4,
"criteria": [
{
"id": "8.1",
"type": "distribution",
"score": 3,
"description": "Correctly derives the negative binomial formula for P(Xn=2s)."
},
{
"id": "8.2",
"type": "support",
"score": 1,
"description": "Correctly states probability is zero for odd t or t<2n."
}
]
},
{
"question_id": "9",
"max_score": 4,
"criteria": [
{
"id": "9.1",
"type": "model",
"score": 2,
"description": "Identifies floor(t/2) independent Bernoulli trials with success probability 2/3."
},
{
"id": "9.2",
"type": "result",
"score": 2,
"description": "Correctly gives E[Y(t)]=(2/3)floor(t/2) and t/3+O(1)."
}
]
},
{
"question_id": "10",
"max_score": 3,
"criteria": [
{
"id": "10.1",
"type": "analysis",
"score": 2,
"description": "Recognizes both reset-to-C and stay-at-A lead to expected next birth time 3."
},
{
"id": "10.2",
"type": "result",
"score": 1,
"description": "Correctly gives E_r(Xn)=3n for all 0<=r<=1."
}
]
}
]
},
{
"section_id": 3,
"section_name": "Matrix_Reachability_and_Invariants",
"max_score": 25,
"questions": [
{
"question_id": "11",
"max_score": 8,
"criteria": [
{
"id": "11.1",
"type": "invariant",
"score": 2,
"description": "States total sum congruence modulo 2n-1."
},
{
"id": "11.2",
"type": "invariant",
"score": 2,
"description": "States row sum congruences modulo n-1."
},
{
"id": "11.3",
"type": "invariant",
"score": 2,
"description": "States column sum congruences modulo n-1."
},
{
"id": "11.4",
"type": "rigor",
"score": 2,
"description": "Provides sufficiency via Smith normal form, lattice index equality, or equivalent argument."
}
]
},
{
"question_id": "12",
"max_score": 4,
"criteria": [
{
"id": "12.1",
"type": "invariant_system",
"score": 2,
"description": "States the full invariant system: total sum modulo 21 and row/column sums modulo 10."
},
{
"id": "12.2",
"type": "conclusion",
"score": 2,
"description": "Correctly computes S=121 and concludes non-reachability."
}
]
},
{
"question_id": "13",
"max_score": 3,
"criteria": [
{
"id": "13.1",
"type": "number_theory",
"score": 2,
"description": "Uses 2n-1 divides n^2 and gcd(n,2n-1)=1 to force n=1."
},
{
"id": "13.2",
"type": "result",
"score": 1,
"description": "Correctly states zero-to-all-ones is reachable iff n=1."
}
]
},
{
"question_id": "14",
"max_score": 4,
"criteria": [
{
"id": "14.1",
"type": "structure",
"score": 2,
"description": "Identifies reachable matrices as A_ab=u_a-v_b."
},
{
"id": "14.2",
"type": "condition",
"score": 2,
"description": "Gives equivalent conditions: total sum zero and all 2x2 mixed differences zero."
}
]
},
{
"question_id": "15",
"max_score": 6,
"criteria": [
{
"id": "15.1",
"type": "group_theory",
"score": 2,
"description": "Identifies irreducible classes as cosets of the generated subgroup H_q."
},
{
"id": "15.2",
"type": "smith_normal_form",
"score": 2,
"description": "Correctly states quotient structure using Smith normal form."
},
{
"id": "15.3",
"type": "counting",
"score": 1,
"description": "Correctly gives number of irreducible classes as gcd(q,n-1)^(2n-2) gcd(q,2n-1)."
},
{
"id": "15.4",
"type": "case_analysis",
"score": 1,
"description": "Correctly discusses odd q versus even q."
}
]
}
]
},
{
"section_id": 4,
"section_name": "Vector_Geometry_and_Extrema",
"max_score": 25,
"questions": [
{
"question_id": "16",
"max_score": 5,
"criteria": [
{
"id": "16.1",
"type": "geometry",
"score": 2,
"description": "Correctly models A_theta as (a,1,c) with a^2+c^2=tan^2(theta)."
},
{
"id": "16.2",
"type": "existence",
"score": 2,
"description": "Correctly converts existence of P to |2-y|<=tan(theta)|x|."
},
{
"id": "16.3",
"type": "circle",
"score": 1,
"description": "Correctly gives x^2+(y-1)^2=R^2."
}
]
},
{
"question_id": "17",
"max_score": 8,
"criteria": [
{
"id": "17.1",
"type": "existence_condition",
"score": 2,
"description": "Correctly states no solution when R<cos(theta)."
},
{
"id": "17.2",
"type": "parameterization",
"score": 2,
"description": "Defines rho=tan(theta), h=sqrt((1+rho^2)R^2-1), and derives u_min."
},
{
"id": "17.3",
"type": "case_analysis",
"score": 2,
"description": "Correctly gives u_max depending on whether rho R>=1."
},
{
"id": "17.4",
"type": "result",
"score": 2,
"description": "Correctly states the x-range as symmetric intervals."
}
]
},
{
"question_id": "18",
"max_score": 3,
"criteria": [
{
"id": "18.1",
"type": "substitution",
"score": 2,
"description": "Correctly substitutes theta=pi/4 and R=2."
},
{
"id": "18.2",
"type": "result",
"score": 1,
"description": "Correctly recovers [-2,(1-sqrt7)/2] union [(sqrt7-1)/2,2]."
}
]
},
{
"question_id": "19",
"max_score": 5,
"criteria": [
{
"id": "19.1",
"type": "upper_bound",
"score": 1,
"description": "Observes total x-interval length is at most 2R."
},
{
"id": "19.2",
"type": "limit",
"score": 2,
"description": "Shows the supremum 2R is approached as theta approaches pi/2."
},
{
"id": "19.3",
"type": "attainment",
"score": 2,
"description": "Correctly handles attainment: R=1 with theta>=pi/4 attains; R!=1 generally only has supremum."
}
]
},
{
"question_id": "20",
"max_score": 4,
"criteria": [
{
"id": "20.1",
"type": "universal_condition",
"score": 2,
"description": "Correctly derives Q=(0,2,0) from the condition holding for all P."
},
{
"id": "20.2",
"type": "result",
"score": 2,
"description": "Correctly concludes unique solution exists iff R=1."
}
]
}
]
},
{
"section_id": 5,
"section_name": "Error_Detection_and_Counterexamples",
"max_score": 10,
"questions": [
{
"question_id": "21",
"max_score": 2,
"criteria": [
{
"id": "21.1",
"type": "error_detection",
"score": 2,
"description": "Identifies the proof error: a necessary invariant was treated as sufficient."
}
]
},
{
"question_id": "22",
"max_score": 2,
"criteria": [
{
"id": "22.1",
"type": "result",
"score": 2,
"description": "States the correct conclusion: reachable iff n=1."
}
]
},
{
"question_id": "23",
"max_score": 2,
"criteria": [
{
"id": "23.1",
"type": "counterexample",
"score": 2,
"description": "Gives a valid example satisfying total-sum invariant but violating row or column invariants."
}
]
},
{
"question_id": "24",
"max_score": 2,
"criteria": [
{
"id": "24.1",
"type": "construction",
"score": 2,
"description": "Designs operations for which total sum modulo q is a complete invariant and justifies completeness."
}
]
},
{
"question_id": "25",
"max_score": 2,
"criteria": [
{
"id": "25.1",
"type": "meta_reasoning",
"score": 2,
"description": "Selects plausible high-discrimination questions and justifies the choices."
}
]
}
]
}
]
}
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来源: linux.do查看原文