刚刚刷B站看到这个视频 数学家老田，已上线！！_哔哩哔哩_bilibili，加上我日常和人聊天发现，大部分人在日常遇到一些带根号的数字，都会下意识拿出手机算，即便是数学课上老师也是用手机算，没见几个人尝试口算的。
这里推荐一个简单的计算方法，可用于简单口算拆根号，如果是考试遇到根号也能用（别看公式多，实际上非常简单）
原理是一个有理化公式的嵌套
原式：\sqrt{a^2+b}=a+\frac{b}{\sqrt{a^2+b}+a}
把 \sqrt{a^2+b} 不断代入得到一个套娃公式（连分数）
\sqrt{a^2+b}=a+\cfrac{b}{2a+\cfrac{b}{2a+\cfrac{b}{2a+\cdots}}}
在这个基础上，我们只要截取任意一层，就能算出这一层对应的估算值
从结构上可以看出，随着层数不断增加，虽然估算值越来越精确，但变化幅度也越来越小，对于日常口算而言，像是 \sqrt{51} 这样的数需要精确到小数点后4位算两层就够了
\sqrt{51}=\sqrt{7^2+2}=7+\cfrac{2}{14+\cfrac{2}{14+\cfrac{2}{14+\cdots}}}
\sqrt{51}=7.141428
只算一层时，结果略大于真实值：
\sqrt{51}\approx7+\cfrac{2}{14}=7.142857
算两层结果更精确，且略小于真实值：
\sqrt{51}\approx7+\cfrac{2}{14+\cfrac{2}{14}}=7+\cfrac{28}{196+{2}}\approx7+\cfrac{14}{99}=7.141414
大部分情况下，只需要算一层，就可以得到精确到小数点后一两位的估值了，口算也非常简单，在别人掏出手机到计算出结果的时间里就能算出来
比如看到 \sqrt{87} ，想起87-81=6，那么a=9且b=6， \sqrt{87} 略小于 9+\cfrac{6}{18}=9.33 （真实值是9.327）
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下面是一些补充内容，可作为知识扩展（考试不考）
1.关于b的正负取值
通常取b>0的数，这样在算精度范围时，可以先算第一层，再算第二层，真实值就在两次结果中间。如果b<0，算出的结果都略大于真实值
通常只在b取负值绝对值比正值更小时，才取负值，比如 \sqrt{80} 取a=9,b=-1时，精度比a=8,b=16要高得多。
2.误差率的计算
误差率 r_n 的公式如下
设 \varepsilon=\frac{b}{a^2}，n为计算层级时
通式：{ r_n\approx \frac{\left|\varepsilon\right|^{n+1}}{2^{2n+1}} }
可见想要提高精度，需要 \varepsilon,也就是 a^2 和 b 比值降低，或者说 a^2 越接近根号内的值，精度越高
3.精确到哪一位小数
让GPT简单算了一下，大概可以得出这个结论：
个位数开根号:计算第一层不能精确到1位小数，第二层精确到1位小数
两位数开根号:计算第一层精确到1位小数，第二层精确到2位小数
三位数开根号:计算第一层精确到1~2位小数，第二层精确到3位~4位
数字越大，计算出的结果越精确
或者换种说法，如果你想要计算的结果精确到小数点后2位，那么0~9的数字要算三层以上，10~600的数字要算两层，601~999的数值要算一层
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